समय - कार्य
काम करने की क्षमता = 1 / पूरा काम करने में लगा समय
काम करने की क्षमता = 1 / पूरा काम करने में लगा समय
पूरा काम करने में लगा समय = 1 / काम करने की क्षमता = 1 / इकाई समय में किया गया कार्य
इकाई समय में किया गया कार्य = एक घण्टा या एक मिनट या एक दिन में किया गया कार्य
आंशिक कार्य ( जैसे 1/2, 2/5 इत्यादि ) करने में लगा समय = आंशिक कार्य / काम करने की क्षमता
1. P किसी काम को 10 दिनों में करता है और Q उसी काम को 15 दिनो में करता है। P और Q इकट्ठा होकर उसी काम को कितने दिन में करेंगे ?
उत्तर → P और Q की एक साथ कार्य क्षमता = 1/10 + 1 / 15 = 3 + 2 / 30
= 5 / 30 = 1 / 6
P और Q इकट्ठा होकर उसी काम को 6 दिन में करेंगे
2. राम कोई काम 15 दिनों में करता है और श्याम उसे 20 दिनों करता है। यदि वे दोनों 4 दिनों तक एक साथ काम करें, तो शेष बचा कार्य पूरे कार्य का कितना भाग होगा ?
उत्तर → राम और श्याम का एक दिन का कार्य = 1/15 + 1/20 = 4 + 3 / 60 = 7 / 60
इसलिए 4 दिन का कार्य = 7 × 4 / 60 = 7 / 15
इसलिए शेष कार्य = 1 − 7 / 15 = 15 − 7 / 15
= 8 / 15
3. A और B एक काम को 12 दिनों में करते है तथा अकेले उसे 48 दिन में करता है। अकेले A उस काम को कितने दिन में पूरा कर लेगा ?
उत्तर → A और B द्वारा एक दिन में किया गया काम = 1 / 12
अकेले B द्वारा एक दिन में किया गया काम = 1 / 48
इसलिए A द्वारा एक दिन में किया गया काम = 1 / 12 − 1 / 48
= 4 − 1 / 48 = 3 / 48
= 1 / 16
इसलिए A अकेले उस काम को 16 दिन में कर सकता है ।
4. P और Q किसी काम को 18 दिन में पूरा करते है, Q और R उसे 24 दिन में व R और P उसे 36 दिन में करते है। तीनो एक साथ काम करके उसे कितने दिन में पूरा करेंगे ?
उत्तर → (P + Q) की कार्यक्षमता = 1 / 18 ......................(i)
(Q + R) की कार्यक्षमता = 1 / 24 ......................(ii)
(R + P) की कार्यक्षमता = 1 / 36 ......................(iii)
समी. (i) + (ii) + (iii)
2 (P + Q + R) की कार्यक्षमता = 1 / 18 + 1 / 14 + 1 / 36
= 4 + 3 + 2 / 72 = 9 / 72 = 1 / 8
इसलिए (P + Q + R) की कार्यक्षमता = 1 / 8 × 2 = 1 / 16
इसलिए तीनो एक साथ मिलकर 16 दिनों में काम पूरा करेंगे।
5. किसी कार्य को P उतने समय में कर सकता है जितने समय में Q तथा R मिलकर उस कार्य को कर सकते है यदि P और Q इस कार्य को मिलकर 10 दिन में कर सकते है तथा R अकेला उसे 50 दिन में कर सकता है तो Q अकेला उस कार्य को कितने समय में कर पाएगा ?
उत्तर → P और Q की कार्यक्षमता = 1 / 10
इसलिए R की कार्यक्षमता = 1 / 50
माना P कार्य को x दिन में व Q और R एक साथ उसे x दिन में करते हैं ।
इसलिए P, Q व R का एक साथ एक दिन का काम -
1 / x + 1 / x = 1 / 10 + 1 / 50
2 / x = 5 + 1 / 50
1 / x = 3 / 50
अत: P की कार्यक्षमता = 3 / 50
इसलिए Q की कार्यक्षमता = 1 / 10 − 3 / 50 = 5 − 3 / 50
= 2 / 50 = 1 / 25
इसलिए Q अकेले काम को 25 दिन में करेगा ।
6. P और Q किसी काम को क्रमश; 10 दिन, 15 दिन में कर लेते है। दोनों ने एक साथ काम शुरू किया परन्तु 2 दिन काम करने के बाद P ने काम छोड़ दिया। ज्ञात करे शेष काम Q ने अकेले कितने दिन में पूरा किया ?
उत्तर → माना शेष काम Q ने अकेले x दिन में पूरा करेगा
प्रारम्भ में किया गया कार्य + x दिन में किया गया कार्य = 1
(P + Q) का 2 दिन का काम + Q का x दिन का काम = 1
(1/10 + 1/15) × 2 + x ×1 / 15 = 1
(3 + 2 / 30) × 2 + x / 15 = 1
1 / 3 + x / 15 = 1
x = 2 × 15 / 3 = 10 दिन
7. A किसी काम को 10 दिन में करता है तथा B उसी काम को 15 दिन में करता है। यदि दोनों एक साथ काम करें तो काम समाप्त होने के कितने दिन पूर्व B काम करना छोड़ दे कि पूरा काम 8 दिन में हो जाय ?
उत्तर → यदि पूरा काम x दिन में हो और कोई व्यक्ति y दिन पूर्व चला जाए तब -
x दिन का काम + (x − y) दिन का काम = 1
माना B ने x दिन पहले काम छोड़ा
A का 8 दिन का काम + B का (8 − x) दिन का काम = 1
8 × 1/ 10 + (8 − x) × 1 / 15 = 1
(8 − x) / 15 = 1 − 4/5
8 − x = 1×15 / 5
x = 5 दिन
8. P कोई काम Q की तुलना में दुगनी गति से करता है। यदि दोनों मिलकर वह काम 12 दिनों में पूरा करें, तो अकेला Q उसे कितने दिनों में कर लेगा ?
उत्तर → P की कार्यक्षमता = Q की कार्यक्षमता × 2
P की कार्यक्षमता / Q की कार्यक्षमता = 2 / 1
P का समय : Q का समय = 1 : 2
माना P अकेले काम को x दिन में तथा Q उसे 2x दिन में करता है।
1 / x + 1 / 2x = 1 / 12
3 / 2x = 1/ 12
x = 18 दिन
अकेले Q उस काम को 2x = 36 दिन में करेगा ।
9. मोहन और सोहन की कार्यक्षमताओं में 3 : 2 का अनुपात है यदि दोनों मिलकर पूरा कार्य 6 दिन में करें तो प्रत्येक अकेले कितने-कितने दिन में करेंगे ?
उत्तर → दोनों के समयों में अनुपात = 1/3 : 1/2 = 6 / 3 : 6 / 2
= 2 : 3
माना मोहन अकेले पूरा काम 2x दिन में तथा सोहन अकेले 3x दिन में कर लेगा ।
1 / 2x + 1 / 3x = 1 / 6
3 + 2 / 6x = 1 / 6
x = 5
इसलिए मोहन 2x = 10 दिन में करेगा तथा सोहन 3x = 15 दिन में करेगा ।
10. यदि 51 व्यक्ति कुछ भोजन को 50 दिन में खा सकते है, तो 50 व्यक्ति उसी भोजन को कितने दिन में खा लेंगे ?
उत्तर → यदि दोनो वाक्यों में काम की मात्रा समान हो तब
पहले वाक्य का गुणनफल = दूसरे वाक्य का गुणनफल
माना 50 व्यक्ति उसी भोजन को x दिन में खा सकेंगे।
50 × x = 51 × 50
x = 51 दिन
11. यदि 10 आदमी 60 घरों को 120 दिन में पेन्ट करे, तो 5 आदमी 30 घरों को कितने दिन में पेन्ट करेंगे ?
उत्तर → यदि दोनों वाक्यों में काम की मात्रा अलग-अलग हो तब
पहले वाक्य का गुणनफल / पहले वाक्य का काम = दूसरे वाक्य का गुणनफल / दूसरे वाक्य का काम
माना 5 आदमी 60 घरों को 120 दिन में पेन्ट करेंगे ।
10 × 120 / 60 = 5 × x / 30
x = 120 दिन
12. एक किले में 2000 व्यक्तियों के लिए 54 दिनों के लिए पर्याप्त भोजन सामग्री है। 15 दिन पश्चात् और अधिक व्यक्ति आ गए तथा भोजन सामग्री केवल 20 दिन और अधिक चल सकी। तो किले में कितने व्यक्ति आए ?
उत्तर → 15 दिन के बाद शेष समय = 54 − 15 = 39 दिन
यदि और व्यक्ति न आते तो 2000 व्यक्ति रहते तो शेष सामग्री 39 दिन चलती।
माना x व्यक्ति और आ गये।
(2000 + x) व्यक्ति रहने पर शेष सामग्री 20 दिन चली।
2000 × 39 = (2000 + x) 20
39000 = 20000 + 10x
x = 1900 व्यक्ति
13. यदि 5 पुरूष अथवा 8 महिलाएँ किसी कार्य को 12 दिन में कर सकते है, उसी कार्य को 2 पुरूष और 4 महिलाएं कितने दिन मे करेंगी ?
उत्तर → 5 पुरूष = 8 महिलाएँ इसलिए 1 पुरूष = 8/ 5 महिलाएँ
2 पुरूष और 4 महिलाएँ = 8 × 2 /5 महिलाएँ + 4 महिलाएँ
= 36 / 5 महिलाएँ
प्रश्नानुसार 8 महिलाएँ किसी कार्य को 12 दिन में करती है।
माना 36 / 5 महिलाएँ उसे x दिन में करेंगी।
8 × 12 = 36 × x / 5
x = 40 / 3
x = 13 1/3
14. 5 आदमी एवं 8 महिलाएँ एक काम को 5 दिन में पूरा करते हैं। उसी कार्य को 6 आदमी एवं 3 महिला भी उतने समय में करती है। 2 आदमी एवं 5 महिलाएँ उसी कार्य को कितने दिन में पूरा करेंगे ?
उत्तर → (5 आदमी + 8 महिलाएँ) × 5 = (6 आदमी + 3 महिलाएँ) × 5
6 आदमी − 5 आदमी = 8 महिलाएँ − 3 महिलाएँ या 1 आदमी = 5 महिलाएँ
प्रश्नानुसार 5 आदमी और 8 महिलाएँ काम को 5 दिन में करते है।
इसलिए 25 महिलाएँ और 8 आदमी काम को 5 दिन में करेंगे।
इसलिए 33 महिलाएँ काम को 5 दिन में करेंगे।
माना 2 आदमी और 5 महिलाएँ उस काम को x दिन में करेंगे।
इसलिए 15 महिलाएँ उस काम को x दिन में करेंगे।
33 × 5 = 15 × x
x = 11 दिन
15. दिनेश, सुरेश तथा मुकेश किसी काम को क्रमश: 20 दिन, 25 दिन, 30 दिन में कर लेते है। यदि तीनों बारी बारी से एक-एक दिन काम करें तो पूरा काम कितने दिन मे समाप्त होगा ?
उत्तर → माना एक चक्र या 3 दिन में किया गया कार्य = 1 / 20 + 1 / 25 + 1 / 30
= 15 + 12 + 10 / 300
= 37 / 300
8 चक्र या 24 दिन में किया गया कार्य = 37 × 8 / 300
= 74 / 75
24 दिन के बाद शेष काम = 1 − 74/75 = 1 / 75
अब 25वें दिन दिनेश काम करेगा।
इसलिए शेष काम को दिनेश द्वारा करने में लगा समय = 1 / 75 × 20 / 1
= 4 / 15
कुल समय = 24 4/15 दिन
= 5 / 30 = 1 / 6
P और Q इकट्ठा होकर उसी काम को 6 दिन में करेंगे
2. राम कोई काम 15 दिनों में करता है और श्याम उसे 20 दिनों करता है। यदि वे दोनों 4 दिनों तक एक साथ काम करें, तो शेष बचा कार्य पूरे कार्य का कितना भाग होगा ?
उत्तर → राम और श्याम का एक दिन का कार्य = 1/15 + 1/20 = 4 + 3 / 60 = 7 / 60
इसलिए 4 दिन का कार्य = 7 × 4 / 60 = 7 / 15
इसलिए शेष कार्य = 1 − 7 / 15 = 15 − 7 / 15
= 8 / 15
3. A और B एक काम को 12 दिनों में करते है तथा अकेले उसे 48 दिन में करता है। अकेले A उस काम को कितने दिन में पूरा कर लेगा ?
उत्तर → A और B द्वारा एक दिन में किया गया काम = 1 / 12
अकेले B द्वारा एक दिन में किया गया काम = 1 / 48
इसलिए A द्वारा एक दिन में किया गया काम = 1 / 12 − 1 / 48
= 4 − 1 / 48 = 3 / 48
= 1 / 16
इसलिए A अकेले उस काम को 16 दिन में कर सकता है ।
4. P और Q किसी काम को 18 दिन में पूरा करते है, Q और R उसे 24 दिन में व R और P उसे 36 दिन में करते है। तीनो एक साथ काम करके उसे कितने दिन में पूरा करेंगे ?
उत्तर → (P + Q) की कार्यक्षमता = 1 / 18 ......................(i)
(Q + R) की कार्यक्षमता = 1 / 24 ......................(ii)
(R + P) की कार्यक्षमता = 1 / 36 ......................(iii)
समी. (i) + (ii) + (iii)
2 (P + Q + R) की कार्यक्षमता = 1 / 18 + 1 / 14 + 1 / 36
= 4 + 3 + 2 / 72 = 9 / 72 = 1 / 8
इसलिए (P + Q + R) की कार्यक्षमता = 1 / 8 × 2 = 1 / 16
इसलिए तीनो एक साथ मिलकर 16 दिनों में काम पूरा करेंगे।
5. किसी कार्य को P उतने समय में कर सकता है जितने समय में Q तथा R मिलकर उस कार्य को कर सकते है यदि P और Q इस कार्य को मिलकर 10 दिन में कर सकते है तथा R अकेला उसे 50 दिन में कर सकता है तो Q अकेला उस कार्य को कितने समय में कर पाएगा ?
उत्तर → P और Q की कार्यक्षमता = 1 / 10
इसलिए R की कार्यक्षमता = 1 / 50
माना P कार्य को x दिन में व Q और R एक साथ उसे x दिन में करते हैं ।
इसलिए P, Q व R का एक साथ एक दिन का काम -
1 / x + 1 / x = 1 / 10 + 1 / 50
2 / x = 5 + 1 / 50
1 / x = 3 / 50
अत: P की कार्यक्षमता = 3 / 50
इसलिए Q की कार्यक्षमता = 1 / 10 − 3 / 50 = 5 − 3 / 50
= 2 / 50 = 1 / 25
इसलिए Q अकेले काम को 25 दिन में करेगा ।
6. P और Q किसी काम को क्रमश; 10 दिन, 15 दिन में कर लेते है। दोनों ने एक साथ काम शुरू किया परन्तु 2 दिन काम करने के बाद P ने काम छोड़ दिया। ज्ञात करे शेष काम Q ने अकेले कितने दिन में पूरा किया ?
उत्तर → माना शेष काम Q ने अकेले x दिन में पूरा करेगा
प्रारम्भ में किया गया कार्य + x दिन में किया गया कार्य = 1
(P + Q) का 2 दिन का काम + Q का x दिन का काम = 1
(1/10 + 1/15) × 2 + x ×1 / 15 = 1
(3 + 2 / 30) × 2 + x / 15 = 1
1 / 3 + x / 15 = 1
x = 2 × 15 / 3 = 10 दिन
7. A किसी काम को 10 दिन में करता है तथा B उसी काम को 15 दिन में करता है। यदि दोनों एक साथ काम करें तो काम समाप्त होने के कितने दिन पूर्व B काम करना छोड़ दे कि पूरा काम 8 दिन में हो जाय ?
उत्तर → यदि पूरा काम x दिन में हो और कोई व्यक्ति y दिन पूर्व चला जाए तब -
x दिन का काम + (x − y) दिन का काम = 1
माना B ने x दिन पहले काम छोड़ा
A का 8 दिन का काम + B का (8 − x) दिन का काम = 1
8 × 1/ 10 + (8 − x) × 1 / 15 = 1
(8 − x) / 15 = 1 − 4/5
8 − x = 1×15 / 5
x = 5 दिन
8. P कोई काम Q की तुलना में दुगनी गति से करता है। यदि दोनों मिलकर वह काम 12 दिनों में पूरा करें, तो अकेला Q उसे कितने दिनों में कर लेगा ?
उत्तर → P की कार्यक्षमता = Q की कार्यक्षमता × 2
P की कार्यक्षमता / Q की कार्यक्षमता = 2 / 1
P का समय : Q का समय = 1 : 2
माना P अकेले काम को x दिन में तथा Q उसे 2x दिन में करता है।
1 / x + 1 / 2x = 1 / 12
3 / 2x = 1/ 12
x = 18 दिन
अकेले Q उस काम को 2x = 36 दिन में करेगा ।
9. मोहन और सोहन की कार्यक्षमताओं में 3 : 2 का अनुपात है यदि दोनों मिलकर पूरा कार्य 6 दिन में करें तो प्रत्येक अकेले कितने-कितने दिन में करेंगे ?
उत्तर → दोनों के समयों में अनुपात = 1/3 : 1/2 = 6 / 3 : 6 / 2
= 2 : 3
माना मोहन अकेले पूरा काम 2x दिन में तथा सोहन अकेले 3x दिन में कर लेगा ।
1 / 2x + 1 / 3x = 1 / 6
3 + 2 / 6x = 1 / 6
x = 5
इसलिए मोहन 2x = 10 दिन में करेगा तथा सोहन 3x = 15 दिन में करेगा ।
10. यदि 51 व्यक्ति कुछ भोजन को 50 दिन में खा सकते है, तो 50 व्यक्ति उसी भोजन को कितने दिन में खा लेंगे ?
उत्तर → यदि दोनो वाक्यों में काम की मात्रा समान हो तब
पहले वाक्य का गुणनफल = दूसरे वाक्य का गुणनफल
माना 50 व्यक्ति उसी भोजन को x दिन में खा सकेंगे।
50 × x = 51 × 50
x = 51 दिन
11. यदि 10 आदमी 60 घरों को 120 दिन में पेन्ट करे, तो 5 आदमी 30 घरों को कितने दिन में पेन्ट करेंगे ?
उत्तर → यदि दोनों वाक्यों में काम की मात्रा अलग-अलग हो तब
पहले वाक्य का गुणनफल / पहले वाक्य का काम = दूसरे वाक्य का गुणनफल / दूसरे वाक्य का काम
माना 5 आदमी 60 घरों को 120 दिन में पेन्ट करेंगे ।
10 × 120 / 60 = 5 × x / 30
x = 120 दिन
12. एक किले में 2000 व्यक्तियों के लिए 54 दिनों के लिए पर्याप्त भोजन सामग्री है। 15 दिन पश्चात् और अधिक व्यक्ति आ गए तथा भोजन सामग्री केवल 20 दिन और अधिक चल सकी। तो किले में कितने व्यक्ति आए ?
उत्तर → 15 दिन के बाद शेष समय = 54 − 15 = 39 दिन
यदि और व्यक्ति न आते तो 2000 व्यक्ति रहते तो शेष सामग्री 39 दिन चलती।
माना x व्यक्ति और आ गये।
(2000 + x) व्यक्ति रहने पर शेष सामग्री 20 दिन चली।
2000 × 39 = (2000 + x) 20
39000 = 20000 + 10x
x = 1900 व्यक्ति
13. यदि 5 पुरूष अथवा 8 महिलाएँ किसी कार्य को 12 दिन में कर सकते है, उसी कार्य को 2 पुरूष और 4 महिलाएं कितने दिन मे करेंगी ?
उत्तर → 5 पुरूष = 8 महिलाएँ इसलिए 1 पुरूष = 8/ 5 महिलाएँ
2 पुरूष और 4 महिलाएँ = 8 × 2 /5 महिलाएँ + 4 महिलाएँ
= 36 / 5 महिलाएँ
प्रश्नानुसार 8 महिलाएँ किसी कार्य को 12 दिन में करती है।
माना 36 / 5 महिलाएँ उसे x दिन में करेंगी।
8 × 12 = 36 × x / 5
x = 40 / 3
x = 13 1/3
14. 5 आदमी एवं 8 महिलाएँ एक काम को 5 दिन में पूरा करते हैं। उसी कार्य को 6 आदमी एवं 3 महिला भी उतने समय में करती है। 2 आदमी एवं 5 महिलाएँ उसी कार्य को कितने दिन में पूरा करेंगे ?
उत्तर → (5 आदमी + 8 महिलाएँ) × 5 = (6 आदमी + 3 महिलाएँ) × 5
6 आदमी − 5 आदमी = 8 महिलाएँ − 3 महिलाएँ या 1 आदमी = 5 महिलाएँ
प्रश्नानुसार 5 आदमी और 8 महिलाएँ काम को 5 दिन में करते है।
इसलिए 25 महिलाएँ और 8 आदमी काम को 5 दिन में करेंगे।
इसलिए 33 महिलाएँ काम को 5 दिन में करेंगे।
माना 2 आदमी और 5 महिलाएँ उस काम को x दिन में करेंगे।
इसलिए 15 महिलाएँ उस काम को x दिन में करेंगे।
33 × 5 = 15 × x
x = 11 दिन
उत्तर → माना एक चक्र या 3 दिन में किया गया कार्य = 1 / 20 + 1 / 25 + 1 / 30
= 15 + 12 + 10 / 300
= 37 / 300
8 चक्र या 24 दिन में किया गया कार्य = 37 × 8 / 300
= 74 / 75
24 दिन के बाद शेष काम = 1 − 74/75 = 1 / 75
अब 25वें दिन दिनेश काम करेगा।
इसलिए शेष काम को दिनेश द्वारा करने में लगा समय = 1 / 75 × 20 / 1
= 4 / 15
कुल समय = 24 4/15 दिन
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