Math Class Note 9 - क्षेत्रफल आयतन


क्षेत्रफल आयतन, वक्रपृष्ठ, सम्पूर्ण पृष्ठ

आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
आयत का परिमाप = 2 ( लम्बाई + चौड़ाई )
आयत का विकर्ण =

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा) = 1/× (विकर्ण)2
वर्ग का विकर्ण = (√2 × भुजा )
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/× आधार × ऊँचाई )
जब a, b तथा c त्रिभुज की भुजाएँ हो तब त्रिभुज का क्षेत्रफल =
जहाँ s = 1/2  (a + b + c )
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3 × (भुजा)/4


वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
वृत्त की परिधि = 2 π r
अर्द्ध-वृत्त का क्षेत्रफल = π r2/2
अर्द्ध-वृत्त की परिमिति = ( π r + 2 r)

a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या = a/ √3
a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्त:वृत्त की त्रिज्या = a/ 2√3   
समान्तर चतर्भुज का क्षेत्रफल = ( आधार √ ऊँचाई )

समचतर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (विकर्णों का गुणनफल )

समलम्ब चतर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (समान्तर भुजाओं का योग) × (उनके बीच की दूरी)

कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई) × ऊँचाई

एक चतर्भुज के विकर्ण की लम्बाई d सेमी. है तथा इसके विपरीत शीर्षों से विकर्ण पर डाले गये लम्बों की लम्बाई P1 तथा P2 है तब इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (P1 + P2) d / 2

घनाभ
घनाभ की लम्बाई ( l ), चौड़ाई ( b ) और ऊँचाई ( h ) है।
घनाभ का आयतन = ( l × b × h) घन सेमी.
घनाभ का विकर्ण = √ l2 + b2 + h2
घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 ( lb + bh + hl) वर्ग सेमी.

घन
घन की सभी भुजाएँ समान होती है। लम्बाई ( l ) = चौड़ाई ( b ) = ऊँचाई ( h ) = a
घन का आयतन = a3 घन सेमी.
घन  का विकर्ण =  a √3
घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 6 a वर्ग सेमी.

बेलन
बेलन का आयतन = π r2h घन सेमी.
बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 π rh वर्ग सेमी.
बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = ( 2πrh + 2πr2 )

शंकु
शंकु का आयतन = πr2h/3 घन सेमी.
शंकु का वक्रपृष्ठ = π r l वर्ग सेमी.
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = (π rl + π r2 ) वर्ग सेमी.


गोला
गोले का आयतन = 4πr3/3 घन सेमी.
गोले का वक्रपृष्ठ = 4 π r2 वर्ग सेमी.
अर्द्धगोले का आयतन = 2 π r3/3 घन सेमी.
अर्द्धगोले का सम्पूर्णपृष्ठ = 3 π r2 वर्गसेमी.

शंकु का छिन्नक
शंकु के छिन्नक का आयतन = πh (R2 + r2 + Rr)/3 घन सेमी.
तिर्यक भाग का क्षेत्रफल = π l (R + r) वर्ग सेमी.                जहाँ l2 = h2 +( R − r)2
छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (आधार का क्षेत्रफल ) + (शीर्ष का क्षेत्रफल ) + (वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल )
                                                  = {π R2 + π r2 + π l (R + r)} वर्ग सेमी.
                                                  = π [R2 + r 2 + l (R + r)] वर्ग सेमी.


खोखला बेलन
खोखले बेलन का आयतन = दोनों बेलनों के आयतनों का अन्तर
                                      = π h (r12 − r22)
खोखले बेलन का वक्रपृष्ठ = दोनों बेलनों के वक्रपृष्ठों का योग
                                     = 2 π (r1 +r2) h
खोखले बेलन का सम्पूर्णपृष्ठ = वक्रपृष्ठ + सिरों का क्षेत्रफल
                                         = 2 π (r1 + r2)h + 2 π r12 − 2 π r22
                                         = 2 π (r1 + r2)(h +r1 − r2)
अभ्यास प्रश्न - क्षेत्रफल आयतन
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